$1$ .\(C\left( {1,1,0} \right);D’\left( {0,1,1} \right);M\left( {\frac{1}{2},0,0} \right);N\left( {0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\)
Mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2mx + 2ny + 2pz + q = 0\) đi qua $4$ điểm đó khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
2 + 2m + 2n + q = 0\\
2 + 2n + 2p + q = 0\\
2 + m + q = 0\\
\frac{1}{2} + n + p + q = 0
\end{array} \right. \Rightarrow m = p,n = – \frac{1}{4},p = – \frac{5}{4},q = 1\)
Vậy mặt cầu $S$ có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – \frac{5}{2}x – \frac{1}{2}y – \frac{5}{2}z + 1 = 0 \left( 1 \right)\)
Hay \({\left( {x – \frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{35}}{{16}}\)
$2$. Mặt cầu đi qua $A’, B, C’, D$ là mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, nó có phương trình \({\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – x – y – z = 0 \left( 2 \right)\)
Lấy $(1)$ trừ $(2)$ ta đươc \(3x – y + 3z – 2 = 0 \left( 3 \right)\) là phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của $2$ mặt cầu $(1)$ và $(2)$. Khoảng cách từ tâm \(\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\) của mặt cầu $(2)$ đến mặt phẳng $(3)$ là \(\frac{{\left| {3.\frac{1}{2} – \frac{1}{2} + 3.\frac{1}{2} – 2} \right|}}{{\sqrt {19} }} = \frac{1}{{2\sqrt {19} }}\)
Mặt khác $(2)$ có bán kính \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên bán kính đường tròn giao tuyến là \(\sqrt {\frac{3}{4} – {{\left( {\frac{1}{{2\sqrt {19} }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{14}}{{19}}}\)
$3$. Mặt phẳng $(CMD)$ có phương trình \({\rm{Ax}} + By + Cz + D = 0\) thỏa mãn \(A + B + D = 0;\frac{A}{2} = D = 0;\frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 0\)
Cho $D = -1$ , ta được $A= 2, B = -1, C = 3$. Vì vậy $(CMD)$ có phương trình \(2x – y + 3z – 1 = 0\). Hình chiếu thiết diện xuống mặt phẳng $OBCD$ là hình thang $OMCD$. Hình thang này có diện tích $3/4$ .
Cosin của góc giữa mặt phẳng $(CMD)$ và mặt phẳng $(OBCD)$ là \(\frac{3}{{\sqrt {4 + 1 + 9} }} = \frac{3}{{\sqrt {14} }}\) nên diện tích của thiết diện là \(\frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{3}{{\sqrt {14} }}}} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}\).