Phương trình $(1)$ có nghiệm khi:
$\Delta^’\geq 0\Leftrightarrow 9m^2-12.(m^2-4+\frac{12}{m^2})\geq 0\Leftrightarrow 4\leq m^2\leq 12\Leftrightarrow 2\leq |m|\leq 2\sqrt{3}$.
Khi đó theo Viét, phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn:
$\begin{cases}x_1+x_2= \frac{m}{2} \\x_1.x_2= \frac{1}{12}(m^2-4+\frac{12}{m^2}) \end{cases}$
Khi đó:
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_1(x_1+x_2)=\frac{m}{2}-\frac{3}{2m}$.
Xét hàm số: $y=\frac{m}{2}-\frac{3}{2m}$ trên tập $D=[-2\sqrt{3},-2]\cup[2, 2\sqrt{3}]$.
Đạo hàm :
$y^’=\frac{1}{2}+\frac{3}{2m^2}>0 \forall m\in D$.
Vậy, ta nhận được :
-$\max y=y( 2\sqrt{3})=\frac{ 3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow \max (x_1^3+x_2^3)=\frac{ 3\sqrt{3}}{4}$, đạt được khi $m= 2\sqrt{3}$
-$\min y=y( -2\sqrt{3})=-\frac{ 3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow \max (x_1^3+x_2^3)=-\frac{ 3\sqrt{3}}{4}$, đạt được khi $m= -2\sqrt{3}$.