Giả sử $M, N$ là $2$ điểm bất kì trong tứ giác $ABCD$. Gọi ${M_1},{N_1};{M_2},{N_2};{M_3},{N_3};{M_4},{N_4};$ lần lượt là hình chiếu của $M, N$ trên các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$. Dựng ra phía ngoài tứ giác các vectơ đơn vị $\overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {{e_3}} ,\overrightarrow {{e_4}} $ sao cho $\overrightarrow {{e_1}} \bot AB,\overrightarrow {{e_2}} \bot BC,\overrightarrow {{e_3}} \bot CD,\overrightarrow {{e_4}} \bot DA$.
Ta có: $M{M_1} + M{M_2} + M{M_3} + M{M_4} = N{N_1} + N{N_2} + N{N_3} + N{N_4} \left( {\forall M,N} \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {{e_4}} =
\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {ND} .\overrightarrow {{e_4}} & \left( {\forall M,N} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {NA} } \right)\overrightarrow {{e_1}} + \left( {\overrightarrow {MB} – \overrightarrow {NB} } \right)\overrightarrow {{e_2}} + \left( {\overrightarrow {MC} – \overrightarrow {NC} } \right)\overrightarrow {{e_3}} + \left( {\overrightarrow {MD} – \overrightarrow {ND} } \right)\overrightarrow {{e_4}} =0 & \left( {\forall M,N} \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MN} \left( {\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {{e_4}} } \right) = 0 & \left( {\forall M,N} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {{e_4}} } \right) = \overrightarrow 0
\end{array}$
Lấy điểm $O$ bất kì.
Từ $O$ dựng $\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {{e_1}} ,\overrightarrow {OQ} = \overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {OR} = \overrightarrow {{e_3}} ,\overrightarrow {OS} = \overrightarrow {{e_4}} $
Ta có $\left( {\overrightarrow {{e_1}} + \overrightarrow {{e_2}} + \overrightarrow {{e_3}} + \overrightarrow {{e_4}} } \right) = \overrightarrow 0 $
$ \Leftrightarrow PQRS$ là hình chữ nhật
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {{e_1}} \text { ngược hướng với } \overrightarrow {{e_3}} \\
\overrightarrow {{e_2}} \text { ngược hướng với } \overrightarrow {{e_4}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB \parallel CD\\
AD \parallel BC
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow ABCD$ là hình bình hành (đpcm).