Cho nửa đường tròn đường kính $AB = 2R$; $M$ và $N$ là $2$ điểm tùy ý trên nửa đường tròn. Các tia $AM, BN$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng: $AM.AI + BN.BI = 4{R^2}$

Trong cả hai trường hợp ta đều có $AM \bot BM,AN \bot BN$
        $\begin{array}{l}
 \Rightarrow AM.AI + BN.BI\\
 = \overline {AM} .\overline {AI}  + \overline {BN} .\overline {BI}
\end{array}$
           $ = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} $    ( công thức hình chiếu )
        $\begin{array}{l}
 = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right)\\
 = \overrightarrow {A{B^2}}  = A{B^2} = 4{R^2}
\end{array}$