Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$. Mặt bên $(SAD)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SB,BC,CD$. Chứng minh rằng $AM\bot BP$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD$. Do $SAD$ là tam giác đều nên ta có: $SH\bot AD$.
$\Rightarrow SH \bot (ABCD) $ ( vì $(SAD) \bot(ABCD) $).
Dựng hệ trục tọa độ $Hxyz$, gốc $H$ như hình vẽ, ở đây $Hy//AB$.

Trong hệ trục tọa độ này, ta có:
$H=(0;0;0) ; S=(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}); B=(\frac {a}{2}; a;0)$
$C=(-\frac {a}{2}; a;0); D=(-\frac {a}{2}; 0;0); A=(\frac {a}{2}; 0;0)$
Do M là trung điểm $SB$, N là trung điểm $BC$, P là trung điểm $CD$ nên : $M=(\frac {a}{4};\frac {a}{2};\frac {a\sqrt{3}}{4}); N=(0;a;0); P=(-\frac {a}{2};\frac {a}{2};0)$.
Do đó: $\overrightarrow{AM}=(-\frac {a}{4};\frac {a}{2};\frac {a\sqrt{3}}{4}) $ và $\overrightarrow{BP}=(-a;-\frac {a}{2};0)$
Từ đó suy ra: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BP}=\frac {a^2}{4}-\frac {a^2}{4}=0\Rightarrow AM \bot BP \Rightarrow $ đpcm.