Bat dang thuc

Xét $f\left ( x \right )=\left ( 1+\sin^{2} y \right )x^{2}+2\left ( \sin y+\cos y \right )x+1+\cos^{2} y$$\Delta=\left ( \sin y+\cos y \right )^{2}-\left ( 1+\sin^{2} y \right )\left ( 1+\cos^{2} y \right )=1+\sin 2y-2-\frac{1}{4}\sin^{2} 2y $$=-\left ( \frac{1}{2}\sin 2y-1 \right )^{2}=-\frac{1}{4}\left ( \sin 2y-2 \right )^{2}Mà $ 1+\sin^{2} y >0$Vậy: $f\left ( x \right … [Đọc thêm...] vềChứng minh rằng :$x^{2}\left ( 1+\sin^{2} y \right )+2x\left ( \sin y+\cos y \right )+1+\cos^{2} y>0,\forall x,y\in R$

Ta có: $\left ( \sin x +a\cos x\right )\left ( \sin x +b\cos x\right )$$= \sin ^{2}x+\left ( a+b \right )\sin x .\cos x+ab\cos ^{2}x$$=\frac{1}{2}\left (1-\cos 2x\right )+\frac{1}{2}\left ( a+b \right )\sin 2x+\frac{1}{2}ab\left (1+\cos 2x\right )$$=\frac{1}{2}\left ( 1+ab \right )+\frac{1}{2}\left ( a+b \right )\sin 2x+\frac{1}{2}\left ( ab-1 \right )\cos 2x$$\leq  … [Đọc thêm...] vềChứng minh rằng:$\left ( \sin x +a\cos x\right )\left ( \sin x +b\cos x\right )\leq \frac{1}{2}[1+ab+\sqrt{\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )}]$

Giả sử tồn tại $x \in R$ để:$\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3(1)$ĐK: $\begin{cases} tanx\neq 0 \\cos3x\neq 0\end{cases}$$\Leftrightarrow$$\begin{cases} x\neq k\pi \\ x\neq\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\end{cases}(k\in Z)$Lúc đó:$ (1)\Rightarrow\frac{1}{3}\leq \frac{3-\tan^{2}x}{1-3\tan^{2} x}\leq 3$(vì $tan3x=\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x}$)$\Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềCó tồn tại $x \in R$ sao cho: $\frac{1}{3}\leq \frac{\tan3x}{\tan x}\leq 3$

Điều kiện: $a^2-1\geq 0\Leftrightarrow |a|\geq 1$. Đặt $\displaystyle |a|=\frac{1}{\cos\alpha}$, với $\displaystyle\alpha\in [0;\frac{\pi}{2})$. Khi đó, bất đẳng thức được biến đổi về dạng:   $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{\cos^2\alpha}-1}+\sqrt{3}\leq \frac{2}{\cos\alpha}\Leftrightarrow \tan \alpha+\sqrt{3}\leq \frac{2}{\cos\alpha}$   … [Đọc thêm...] vềChứng minh rằng:               $\sqrt{a^2-1}+\sqrt{3}\leq 2|a|$