up pc up drive phôt … [Read more...] about tét image pdf
Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $M$ sao cho $\left( {2\cos \frac{A}{2}MA + MB + MC} \right)$ nhỏ nhất
Với mọi điểm $M$ ta có: $\begin{array}{l}2\cos \frac{A}{2}.MA + MB + MC\\ = 2\cos \frac{A}{2}MA + \frac{{MB.AB}}{{AB}} + \frac{{MC.AC}}{{AC}} \ge 2c{\rm{os}}\frac{A}{2}.MA + \frac{{\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} }}{{AB}} + \frac{{\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AC} }}{{AC}}\\ = 2\cos \frac{A}{2}.MA + \frac{{\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow … [Read more...] about Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $M$ sao cho $\left( {2\cos \frac{A}{2}MA + MB + MC} \right)$ nhỏ nhất
Cho đa giác đều $A_1A_2…A_n$. Tìm điểm $M$ sao cho tổng $( MA_1 + MA_2 + … + MA_n)$ nhỏ nhất.
Gọi $O$ là tâm của đa giác đều. $\forall M$ ta có: $\begin{array}{l}M{A_1} + M{A_2} + ... + M{A_n} = \\ = \frac{{M{A_1}.O{A_1}}}{{O{A_1}}} + \frac{{M{A_2}.O{A_2}}}{{O{A_2}}} + ... + \frac{{M{A_n}.O{A_n}}}{{O{A_n}}} \ge \frac{{\overrightarrow {M{A_1}} .\overrightarrow {O{A_1}} }}{{O{A_1}}} + \frac{{\overrightarrow {M{A_2}} .\overrightarrow {O{A_2}} }}{{O{A_2}}} + ... + … [Read more...] about Cho đa giác đều $A_1A_2…A_n$. Tìm điểm $M$ sao cho tổng $( MA_1 + MA_2 + … + MA_n)$ nhỏ nhất.
Cho tam giác $ABC$ trọng tâm $G$. Kẻ qua G đường thẳng $\Delta ;\Delta ‘$ là đường thẳng bất kì song song với $\Delta $. Chứng minh tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến $\Delta $ không vượt quá tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến $\Delta ‘$.
Gọi $H,H';K,K';L,L'$ tương ứng là hình chiếu của $A;B;C$ trên $\Delta ;\Delta '$ Đặt $\overrightarrow x = \overrightarrow {HH'} = \overrightarrow {KK'} = \overrightarrow {LL'} $Ta có: $AH{'^2} + BK{'^2} + CL{'^2} = $ $\begin{array}{l} = {\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HH'} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BK} + \overrightarrow {KK'} } … [Read more...] about Cho tam giác $ABC$ trọng tâm $G$. Kẻ qua G đường thẳng $\Delta ;\Delta ‘$ là đường thẳng bất kì song song với $\Delta $. Chứng minh tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến $\Delta $ không vượt quá tổng bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến $\Delta ‘$.
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nội tiếp đường tròn $\left( {O,R} \right)$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho: $\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 3{a^2}$
Cách 1: $\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = $ $\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {M{B^2} + M{C^2} - B{C^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {M{C^2} + M{A^2} - C{A^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}} \right)\\ = \left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} … [Read more...] about Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nội tiếp đường tròn $\left( {O,R} \right)$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho: $\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 3{a^2}$
Cho hình bình hành $ABCD. E, F$ lần lượt là hình chiếu của $C$ trên $AB, AD$. Chứng minh rằng : $\overline {AB} .\overline {AE} + \overline {AD} .\overline{AF} = AC^2$
Ta có :$\overline {AB} .\overline {AE} + \overline {AD} .\overline {{\rm{AF}}} $ $ =\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} $ ( công thức hình chiếu ) $\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right).\overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} \\ = … [Read more...] about Cho hình bình hành $ABCD. E, F$ lần lượt là hình chiếu của $C$ trên $AB, AD$. Chứng minh rằng : $\overline {AB} .\overline {AE} + \overline {AD} .\overline{AF} = AC^2$
Cho đa giác đều ${A_1}{A_2}…{A_{2n}}$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, $M$ là điểm bất kì thuộc $\left( O \right)$. Chứng minh rằng: $M{A_1}^2 + M{A_3}^2 + M{A_{2n – 1}}^2 = M{A_2}^2 + M{A_4}^2 + M{A_{2n}}^2$
Dễ thấy ${A_1}{A_3}...{A_{2n - 1}}$ và ${A_2}{A_4}...{A_{2n}}$ là các đa giác đều $n$-cạnh nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $R$ là bán kính đường tròn, theo kết quả (có thể tham khảo bài 103436), với $\forall M \in \left( O \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}M{A_1}^2 + M{A_3}^2 + ... + M{A_{2n - 1}}^2 = 2n{R^2}\\M{A_2}^2 + M{A_4}^2 + ... + M{A_{2n}}^2 = … [Read more...] about Cho đa giác đều ${A_1}{A_2}…{A_{2n}}$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$, $M$ là điểm bất kì thuộc $\left( O \right)$. Chứng minh rằng: $M{A_1}^2 + M{A_3}^2 + M{A_{2n – 1}}^2 = M{A_2}^2 + M{A_4}^2 + M{A_{2n}}^2$
Cho ba điểm $A(3,1) B(0,7) C(5,2)$ trong mặt phẳng tọa độ trực chuẩn $Oxy.$$1.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông và tính diện tích của nó.$2.$ Giả sử $M$ là điểm chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng khi đó trọng tâm $G$ của tam giác $MBC$ chạy trên một đường tròn, viết phương trình chính tắc của đường tròn đó.
$\begin{array}{l}1. \,A(3;1)\,\,\,B(0;7)\,\,\,C(5;2)\\ \Rightarrow A{B^2} = 45\,\,\,;\,\,B{C^2} = 50\,;\,\,A{C^2} = 5\\ \Rightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\end{array}$Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có diện tích $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{15}}{2}\,\,(dvdt)$$2$. Tam giác $ABC$ vuông, cạnh huyền $BC$ nên trung điểm $E$ của $BC$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Nếu … [Read more...] about Cho ba điểm $A(3,1) B(0,7) C(5,2)$ trong mặt phẳng tọa độ trực chuẩn $Oxy.$$1.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông và tính diện tích của nó.$2.$ Giả sử $M$ là điểm chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng khi đó trọng tâm $G$ của tam giác $MBC$ chạy trên một đường tròn, viết phương trình chính tắc của đường tròn đó.
$1/$CMR trong tam giác $ABC$ thì $A \ge 2B$ tương đương với điều kiện ${a^2} \ge b(b + c)$$2/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge 3B$. CMR khi đó ${(a – b)^2}(a + b) \ge b{c^2}$ Mệnh đề đảo có đúng không ?$3/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge B + 2C$. CMR khi đó $\cos C \le \frac{{a + b}}{{2a}}$
$1/$ Ta có $A \ge 2B \Leftrightarrow A - B \ge B$ Có $2$ khả năng sau $a/$ Nếu $A - B $b/$ Nếu $A - B > {90^0}$. Khi đó $\sin (A - B) = \sin (\pi - A + B)$ Rõ ràng $\pi - A + B > B$( vì điều này $ \Leftrightarrow \pi - A > 0$) và cả $2$ vế đều là góc nhọn dương nên $\sin (\pi - A + B) > \sin B$ tức là $sin(A-B)>sinB$ Như vậy từ $(1)$ suy ra $A \ge 2B … [Read more...] about $1/$CMR trong tam giác $ABC$ thì $A \ge 2B$ tương đương với điều kiện ${a^2} \ge b(b + c)$$2/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge 3B$. CMR khi đó ${(a – b)^2}(a + b) \ge b{c^2}$ Mệnh đề đảo có đúng không ?$3/$Cho tam giác $ABC$ có $A \ge B + 2C$. CMR khi đó $\cos C \le \frac{{a + b}}{{2a}}$
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $a < \frac{1}{2}(b + c)$ CMR ta cũng có: $A < \frac{1}{2}(B + C)$.Mệnh đề đảo có đúng không ?
$1/$ Từ $a $\sin A Do $\frac{1}{2}(\sin B + \sin C) \le \sin \frac{{B + C}}{2} \Rightarrow \sin A DO $a Vì $\frac{{B + C}}{2}$ cũng nhọn nên từ $(1)$ suy ra $A $2/$ Đảo lại,giả sử $A 0$ (sẽ chọn sau)Đặt $A = {60^0} - \alpha ,C = 60 + \alpha ,B = {90^0}$ khi đó ta có $A Ta có $\sin (A + \alpha ) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin Ac{\rm{os}}\alpha + \sin \alpha \cos … [Read more...] about Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện $a < \frac{1}{2}(b + c)$ CMR ta cũng có: $A < \frac{1}{2}(B + C)$.Mệnh đề đảo có đúng không ?